Exercice national 1 : La table de jardin

René dispose dans son jardin d'une très grande terrasse carrelée avec de très belles dalles carrées de 0,5 m de côté.

Il décide de construire sur cette terrasse une table ronde avec les pieds sur le bord et un parasol central.

René est un bricoleur prévoyant, aussi pour gagner en stabilité, il décide que la table devra avoir le maximum de pieds, tous solidement fixés dans le sol. tout comme le parasol car on n'est jamais à l'abri d'un coup de vent...

Mais René est aussi un bricoleur soigneux, alors pour ne pas détériorer les dalles, il choisit de percer la terrasse uniquement aux intersections des joints de séparation.

La figure ci-dessous donne un exemple de table à huit pieds :

Si n désigne le nombre de pieds de la table et d son diamètre exprimé en mètres, on définit le coefficient de solidité s de la table par la formule s = n / d.
Une table est d'autant plus solide que son coefficient de solidité est élevé.

On choisit le centre O de la table pour origine, le côté de la dalle pour unité, on note [II'] et [JJ'] les deux diamètres qui suivent les joints de séparation et R le rayon de la table.

Un pied est ainsi assimilé à un point à coordonnées entières dans le repère orthonormal d'origine O et d'axes (II') et (JJ').

Le problème revient alors à chercher des couples d'entiers (a;b) vérifiant la relation a² + b² = R²

Le tableau (T) ci-dessous donne les premières sommes a² + b² avec a > 0 et b > 0, soit pour un quart de table, ce qui pour des raisons de symétrie est bien suffisant :

5	25	26<	29	34	41	<30
4	16	17	20	25	32	41
3	9	10	13	18	25	34
2	4	5	8	13	20	29
1	1	2	5	10	17	26
0	0	1	4	9	16	25
	0	1	2	3	4	5

Notons que si a > 5 ou b > 5 alors a² + b² > 25

1°) Calculer le coefficient de solidité de la table dessinée ci-dessus.

On a R = racinecarrée(5) donc s = 4/2*racinecarrée(5)*0,5 =4racinecarrée(5)/5 .

S a pour valeur approchée 1,79

2°) Quelles sont les deux tables les plus petites ? précisez leur coefficient de solidité.

D'après le tableau , les tables les plus petites ont pour rayon respectif 1 et .

Si R= 1 alors la table a 4 pieds donc s = 4/(2*0,5)= 4

Si R = alors la table a encore 4 pieds donc s = 4/(2**0,5)=2 .

Une valeur approchée de s est 2,82.

3°) Quel est le coefficient de solidité maximal d'une table à 12 pieds ?

La table à 12 pieds la plus solide est la plus petite car si N est constant :

s >= s' équivaut à D >=D'

• si R est un nombre entier :

  il y a déjà 4 pieds en I,I' ,J et J'.

  Il reste alors, pour des raisons de symétrie, 2 pieds par quart de table et le nombre R² doit apparaître 4 fois dans le tableau (T)
  La première solution apparaît pour R + 5. On a alors s = 12/(10*0,5) = 2,4
  

• si R n'est pas un nombre entier :
  Il n'ya apas de pieds en I, I', J et J'. Il y a alors 3 pieds par quart de table donc le nombre R² doit apparaître 3 fois dans le tableau (T).
  Comme aucun nombre n'apparaît 3 fois dans le tableau, il est clair que dans ce cas une table à 12 pieds a un rayon strictement supérieur à 5.
  
• Conclusion : La table à 12 pieds la plus solide est celle de rayon R= 5. En conséquence le coefficient de solidité maximum d'une table à 12 pieds est 2,4

4°) Quelle est la table la plus solide ?

• si R est un nombre entier :
  Le nombre de pieds par quart de table est au maximum égal à la partie entière de R. On la note E(R).
  Comme il n'y a pas de pieds en I,I',J et J' on a N <= 4 E(R) <=4 R et donc s = N/(2R*0,5) = N/R < 4
  
• si R n'est pas un nombre entier :
  Il y a déjà 4 pieds en I,I', J et J' et donc au maximum R - 1 pieds par quart de table ouvert(c'est-à-dire sans les extrémités).
  Donc N <= 4(R-1) + 4 = 4 R et comme précédemment s <=4
  Si s = 4 alors N = 4R et donc il y a exactement R-1 pieds par quart de table, ce qui impose en particulier un pied de coordonnées ( R - 1, 1). Mais (R-1)² + 1² = R² équivaut à R = 1
  
• Conclusion : Toutes les tables sauf la plus petite ont un coefficient de solidité strictement inférieur à 4. La table la plus solide est donc la plus petite.

5°) René peut-il fabriquer une table à 16 pieds dont le diamètre exprimé en mètres est un nombre entier ?

Si une table a 16 pieds et un rayon entier, il y a encore 3 pieds par quart de table ouvert. Pour des raisons de symétrie, il doit y aoir encore des pieds sur les bissectrices des angles IOJ et I'OJ'.
On a alors nécessairement un couple (a,b) avec a₀ et b₀ pour lequel a = b. Notons le (a₀,b₀).

On en déduit R =a₀ et donc= R/a₀. Mais si R est entier , R/a₀ est donc rationnel.

Comme est irrationnel, René ne pourra pas construire cette table.

Exercice national 2

Les pages d'un livre sont numérotées de 1 à n (on rappelle que la page numérotée 1 est toujours une page de droite).

On additionne les numéros de toutes les pages et on trouve un total égal à 2003.

Mais deux pages numérotées sont restées collées et leurs numéros n'ont pas été comptés.

Quels sont les nombres de pages du livre et les numéros des pages collées ?

Soit n le nombre de pages du livre. les pages collées sont une page de gauche de numéro pair 2p et une page droite de numéro 2p + 1

Donc la somme de tous les nombres de 1 à n hormis 2p et 2p +1 est égale à 2003 soit

(1) : n(n + 1)/2 - (4p + 1) = 2003 .

Or 2 <= 2p < n d'où 5 <= 4p + 1 < 2n +1

alors n(n + 1)/2 - (2n + 1) < 2003 <= n(n + 1)/2 - 5 double inégalité qui conduit aux deux inéquations

(2) : n² - 3 n 6 4008 < 0

(3) : n² + n - 4016 >= 0

(2) donne n < (3 + racine carrée(16041))/2 d'où n < 64,83

(3) donne n >= (-1 + racine carrée(16065))/2 d'où n > 62,87

n étant un entier, il existe donc deux solutions 63 et 64

Si n = 63 (1) donne 4p + 1 = 63 * 64/2 - 2003 soit p = 3

Si n = 64 (1) donne 4 p + 1 = 64 * 65 /2 - 2003 soit p = 19

En conclusion : ou bien le livre a 63 pages et les pages 6 et 7 sont collées

ou bien le livre a 64 pages et les pages 38 et 39 sont collées.

alors

Exercice académique 3 - Le solitaire du cancre.

Le solitaire du cancre se joue seul sur du papier quadrillé.
Au départ, on dispose de 36 points formant la figure 1 ci-dessous :

A chaque étape, on place un point sur un nœud du quadrillage de manière à obtenir 5 points alignés que l'on relie d'un trait.

On doit respecter les règles suivantes :

· On ne trace qu'un trait de 5 points par étape.
· Les traits ne doivent pas se superposer, mais peuvent se croiser ou être alignés.
· On ne peut avoir de traits de plus de 5 points.

Figure 2 : exemples de traits autorisés

Figure 3 : exemples de traits non permis :

Le but de l'exercice est de montrer que le jeu s'arrête nécessairement.

A une étape donnée, on appelle potentiel d'un point le nombre de directions issues de ce point (au maximum 8 ) non situées sur une ligne déjà tracée.

1°) Sur la figure 4 ci-dessous , le potentiel du point A est 4.

Figure 4:

Calculer la somme des potentiels des points de la figure. Comparer cette somme avec celle de la figure de départ.

S = 20 * 8 + 2 * 7 + 13 * 6 + 4 * 5 + 4 * 4 = 288

Au départ, nous avons 36 points avec 8 directions possibles d'où le calcul de la somme S = 36 * 8 = 288

2°) Montrer que la somme des potentiels de tous les points placés est la même à chaque étape.

A chaque étape, on rajoute un point avec un certain potentiel mais on trace également un trait donc d'autres points perdent du potentiel.

Etudions tous les cas possibles sur un trait :

Les chiffres indiquent l'augmentation/diminution du potentiel du point considéré.

Dans tous les cas, on ne rajoute globalement aucun potentiel.

3°) Conclure que le nombre d'étapes est fini.

S est un invariant.

Si le nombre d'étapes (donc de points) est infini alors , à une certaine étape, soit le nombre de colonnes soit le nombre de lignes où figurent des points dépassent 145.

Sur ces colonnes(respectivement lignes), les points extrêmes(le plus "en haut" et le plus "en bas", idem avec droite/gauche) ont un potentiel au moins supérieur à 1; s'il y a eu au moins deux points sur cette colonne, la somme de leur potentiel dépasse 2, s'il y en a qu'un, son potentiel est supérieur à 2.

Nous pouvons donc affirmer que la somme de tous les potentiels de tous les points dépasse 2 * 145 = 290 > 288 ce qui est bien sûr absurde.

Exercice national 4

On se propose de déterminer toutes les configurations de 4 points distincts A, B, C et D tels que leurs distances mutuelles AB, AC, AD, BC, BD, CD ne prennent que 2 valeurs exactement que l'on note x et y.

C'est par exemple le cas lorsque ABCD est un carré, x est la longueur des côtés et y celle des diagonales.

1°) Etude du cas "1,5" où l'une des distances est égale à x et les cinq autres à y.

Montrer qu'il existe , à l'ordre près des points, une seule configuration répondant à cette question.

Dessiner cette configuration.

Supposons que AB = x. On a donc AC = AD = BC = BD = CD = y. Les triangles ACD et ABD sont équilatéraux. On obtient une seule configuration puisque A et B sont différents

2°) Etude du cas "2,4" où deux des distances sont égales à x et les quatre autres à y.

a) On suppose que les deux segments de longueur x n'ont pas de sommet commun. Quelle configuration obtient-on ? La dessiner.

Posons AB = CD = x. On a donc AC = AD = BC = BD = y. le quadrilatère cherché est un losange dont les diagonales ont même longueur, c'est le carré donné en exemple

b) Que se passe-t-il lorsque les deux segments de longueur x ont un sommet en commun ?

Posons AB = Ac = x. On a donc AD = BC = BD = CD = y. Le triangle BCD est équilatéral. A est à l'intersection de la médiatrice de [BC] et du cercle de centre D et de rayon y. On a donc 2 configurations.

3°) Etudier le cas "3,3"

a) Les 3 segments de longueur x sont disposés en étoile, par exemple AB = AC = AD = x. On a donc BC = BD = CD = y. Le triangle BCD est équilatéral et A est le centre de ce triangle.

b) Si les 3 segments de longueur x forment un triangle équilatéral on retrouve la précédente configuration.

Il reste le cas où les 3 segments de longueur x forment une chaîne ouverte. Posons AB = BC = CD = x. On a donc AC = AD = BD = y. Les triangles BDA, ADC, ABC et BCD sont isocèles. Appelons O le point d'intersection des segments [BD] et [AC]. Les triangles BDA et ADC d'une part, ABC et BCD d'auttre part sont isométriques(3ème cas). Les angles CAD et BAD d'une part, DBC et ACB d'autre part sont égaux. Puisque les angles BOC et AOB sont opposés par le sommet, ils sont égaux ce qui entraîne l'égalité des 4 angles précédents et le parallélisme des droites (BC) et (AD). La configuration cherchée est un trapèze isocèle.